אינטגרלים – המדריך המלא

האינטגרל הוא ההיפוך של הנגזרת ומאפשר לחשב שטחים, נפחים, מסלולים ועוד. במדריך תקבלו טבלת אינטגרלים בסיסיים, את נוסחת ניוטון-לייבניץ, שיטת ההצבה, אינטגרציה בחלקים וחישוב שטח בין גרפים.

אינטגרל לא מסוים – חוק החזקה

$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \ne -1$

$C$ הוא קבוע האינטגרציה

טבלת אינטגרלים בסיסיים

  • $\displaystyle\int k\,dx = kx + C$
  • $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \ne -1)$
  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
  • $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$
  • $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
  • $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
  • $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$
  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$

אינטגרל מסוים – נוסחת ניוטון-לייבניץ

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

$F$ – פונקציה קדומה כלשהי של $f$

תוצאה זו היא מספר (ולא משפחת פונקציות), שמייצג את השטח (עם סימן) בין הגרף לציר $x$ בין $a$ ל-$b$.

שיטות אינטגרציה

הצבה (שינוי משתנה)

אם $u=g(x)$ אז $du = g'(x)\,dx$ ובהתאמה $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$.

אינטגרציה בחלקים

$\displaystyle\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$.

שימושי בעיקר עבור מכפלות כמו $\int x e^x dx$ או $\int x \ln x\, dx$.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 – חוק החזקה

חשבו $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$.

  • $= x^3 - 2x^2 + 5x + C$

דוגמה 2 – אינטגרל מסוים

חשבו $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.

  • $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$
  • $F(2)-F(0) = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}$

דוגמה 3 – הצבה

חשבו $\displaystyle\int 2x \sqrt{x^2+1}\,dx$.

  • $u=x^2+1,\ du=2x\,dx$
  • $\int \sqrt{u}\,du = \tfrac{2}{3}u^{3/2}+C$
  • $= \tfrac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$

דוגמה 4 – שטח בין גרפים

חשבו את השטח הכלוא בין $f(x)=x^2$ ל-$g(x)=2x$.

  • נקודות חיתוך: $x^2 = 2x \Rightarrow x=0,2$
  • $\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = x^2 - \tfrac{x^3}{3}\Big|_0^2$
  • $= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}$

שאלות נפוצות

למה מוסיפים $+C$?

כי לכל פונקציה קדומה הוספת קבוע משאירה את הנגזרת זהה. ה-$+C$ מבטא את כל המשפחה האפשרית של פונקציות קדומות.

מתי האינטגרל המסוים יוצא שלילי?

כאשר הגרף נמצא מתחת לציר $x$ בקטע (או חלקו). אם רוצים שטח – משתמשים בערך מוחלט או מפצלים את האינטגרל.

איך יודעים אם להשתמש בהצבה או בחלקים?

הצבה – כשרואים פונקציה ואת הנגזרת שלה (או כפולה שלה) באינטגרנד. בחלקים – כשיש מכפלה של פונקציה אלגברית עם לוגריתמית, טריגונומטרית או מעריכית.

מתכוננים לבגרות 5 יח"ל?

מורים פרטיים מנוסים באינטגרלים, חקירת פונקציה ובעיות מילוליות לבגרות.

מצאו מורה פרטי

קראו עוד

אינטגרל לא מסויים אינטגרל מסויים מחשבון אינטגרלים נגזרת מכפלה נגזרת מנה נגזרת שורש חקירת פונקציה חוקי לוגים