דוגמה 1
גזרו את $f(x) = x^2 \cdot \sin x$.
- $u=x^2,\ u'=2x$
- $v=\sin x,\ v'=\cos x$
- $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$
כלל המכפלה
$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
"נגזרת של הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול נגזרת של השני"
איך זוכרים?
טריק פשוט: כותבים שני מחוברים, בכל אחד מהם מסמנים בנגזרת רק גורם אחד. אם יש לכם $u \cdot v$ – פעם גוזרים את $u$ ופעם את $v$, ומחברים.
הרחבות שימושיות
- שלוש פונקציות: $(u v w)' = u'vw + u v'w + uv w'$.
- קבוע כפול פונקציה: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ – אין צורך בכלל המכפלה לקבוע.
- כלל המכפלה תקף גם לפונקציות מורכבות – אחרי שגוזרים, אם יש בתוך כל אחת פונקציה מורכבת, ממשיכים עם כלל השרשרת.
דוגמאות פתורות
דוגמה 2
גזרו את $f(x) = (x+1)\cdot e^x$.
- $u=x+1,\ u'=1$
- $v=e^x,\ v'=e^x$
- $f'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$
דוגמה 3
גזרו את $f(x) = \ln x \cdot \cos x$.
- $u=\ln x,\ u'=\tfrac{1}{x}$
- $v=\cos x,\ v'=-\sin x$
- $f'(x) = \dfrac{\cos x}{x} - \ln x \sin x$
דוגמה 4 – שלוש פונקציות
גזרו את $f(x) = x \cdot e^x \cdot \sin x$.
- $f'(x) = e^x \sin x + x e^x \sin x + x e^x \cos x$
- $= e^x\bigl(\sin x + x\sin x + x\cos x\bigr)$
שאלות נפוצות
אפשר במקום זה לפתוח סוגריים?
לפעמים כן (למשל $(x+1)(x+2)$ – קל יותר לפתוח). במכפלה של פונקציות מסוגים שונים, כמו פולינום וטריגונומטרית, אי אפשר לפתוח – חייבים את הכלל.
מה הקשר לכלל המנה?
כלל המנה נגזר מכלל המכפלה: $(u/v) = u \cdot v^{-1}$, וגוזרים בעזרת כלל המכפלה והשרשרת.
למה לא ($u \cdot v$)' = u' v'?
זו טעות נפוצה. אפשר לבדוק קלות עם $u=x, v=x$: הצד הימני ייתן $1\cdot 1 = 1$, אבל הנגזרת האמיתית של $x^2$ היא $2x$, וזה מתאים בדיוק לנוסחה $u'v + uv' = x + x = 2x$.