מהי נגזרת של שורש ריבועי?

הנגזרת של √x היא 1 חלקי 2√x. כלומר (√x)' = 1/(2√x), עבור x>0.

איך גוזרים שורש של פונקציה מורכבת?

משתמשים בכלל השרשרת: אם f(x)=√g(x), אז f'(x) = g'(x)/(2√g(x)).

מבטאים כחזקה: ⁿ√x = x^(1/n). הנגזרת היא (1/n)·x^(1/n − 1).

נגזרת שורש ריבועי

$\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

בתחום ההגדרה $x>0$

נכתוב את השורש כחזקה רציונלית: $\sqrt{x}=x^{1/2}$. לפי כלל החזקה $(x^n)'=n\,x^{n-1}$:

$\bigl(x^{1/2}\bigr)' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

שורש מסדר $n$: $\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)' = \dfrac{1}{n}\,x^{1/n - 1} = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{\,n-1}}}$.
שורש של פונקציה (כלל השרשרת): $\bigl(\sqrt{g(x)}\bigr)' = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$.
שורש מסדר $n$ של פונקציה: $\bigl(\sqrt[n]{g(x)}\bigr)' = \dfrac{g'(x)}{n\,\sqrt[n]{g(x)^{\,n-1}}}$.

מצאו את הנגזרת של $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה $x=9$.

גזרו את $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

גזרו את $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

גזרו את $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

למה אסור $x=0$?

כי הנגזרת היא $1/(2\sqrt{x})$ ו-$\sqrt{0}=0$ במכנה. בנקודה $x=0$ הפונקציה רציפה אבל לא גזירה (יש משיק אנכי).

איך גוזרים $\sqrt{\sin x}$?

לפי כלל השרשרת: $\dfrac{(\sin x)'}{2\sqrt{\sin x}}=\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.

מה ההבדל בין שורש לחזקה?

אין הבדל מתמטי – $\sqrt{x}=x^{1/2}$. כדאי לכתוב כחזקה לפני שגוזרים, זה מקל על החישוב.

מורים פרטיים מנוסים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ברמת בגרות 4 ו-5 יח"ל.