נגזרת מנה – כלל המנה במלואו

כלל המנה הוא הכלי המרכזי לגזירת פונקציות רציונליות – פונקציות שיש בהן חלוקה. במדריך תקבלו את הנוסחה, טריק לזכירה, ודוגמאות פתורות הכוללות פונקציות שכיחות בבגרות.

כלל המנה

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

בתחום שבו $v(x) \ne 0$

איך זוכרים? – "נגזרת מונה כפול מכנה פחות מונה כפול נגזרת מכנה, חלקי המכנה בריבוע"

הסדר חשוב מאוד – שלא כמו בכלל המכפלה, כאן יש חיסור, ולכן החלפת מקומות תשנה את התשובה.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 – פונקציה רציונלית פשוטה

גזרו את $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

  • $u=x+1,\ u'=1;\ v=x-1,\ v'=1$
  • $f'(x) = \dfrac{1\cdot(x-1) - (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}$
  • $= \dfrac{-2}{(x-1)^2}$

דוגמה 2 – פולינום חלקי פולינום

גזרו את $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-3}$.

  • $u=x^2+1,\ u'=2x;\ v=x-3,\ v'=1$
  • $f'(x) = \dfrac{2x(x-3) - (x^2+1)}{(x-3)^2}$
  • $= \dfrac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

דוגמה 3 – טריגונומטריה

הוכיחו $\bigl(\tan x\bigr)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$.

  • $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
  • $\bigl(\tan x\bigr)' = \dfrac{\cos x\cdot \cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}$
  • $= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

דוגמה 4 – שילוב עם מעריכית

גזרו את $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$.

  • $u=e^x,\ u'=e^x;\ v=x,\ v'=1$
  • $f'(x) = \dfrac{e^x\cdot x - e^x\cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$

שאלות נפוצות

אפשר במקום זה לכתוב כחזקה שלילית?

בהחלט – $u/v = u \cdot v^{-1}$, ואז גוזרים בכלל המכפלה והשרשרת. שתי הדרכים נכונות, אבל כלל המנה לרוב מהיר יותר.

מה אם המונה הוא קבוע?

אם $f(x) = c/v(x)$ אז $f'(x) = -c \cdot v'(x)/v^2(x)$. הקיצור הזה חוסך כתיבה.

למה צריך $v(x) \ne 0$?

כי $1/v^2$ במכנה. הפונקציה לא מוגדרת במקומות שבהם המכנה מתאפס – ולכן גם הנגזרת לא קיימת שם.

חזק בחדו"א, חלש בשברים?

מורים פרטיים מנוסים מסבירים את הצעדים שלב אחר שלב, עד שתהיו בטוחים בכל בעיה.

מצאו מורה פרטי

קראו עוד

נגזרת מכפלה נגזרת שורש אינטגרלים חקירת פונקציה חוקי חזקות