חוקי לוגים – כל הנוסחאות במקום אחד

לוגריתם הוא הפונקציה ההפוכה למעריכית. עם מספר חוקים פשוטים אפשר לפתור משוואות אקספוננציאליות, לפשט ביטויים ולהתכונן לבגרות. כאן תמצאו את כל החוקים עם הסבר ודוגמאות.

הגדרה

$\log_b x = y \iff b^y = x$

תנאים: $b>0,\ b\ne 1,\ x>0$

חוקי לוגים – טבלה מהירה

  • מכפלה: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
  • חילוק: $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$
  • חזקה: $\log_b(x^n) = n\,\log_b x$
  • שורש: $\log_b(\sqrt[n]{x}) = \dfrac{1}{n}\log_b x$
  • החלפת בסיס: $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$
  • ערכים מיוחדים: $\log_b 1 = 0,\ \log_b b = 1,\ b^{\log_b x} = x$
  • היפוך בסיס וארגומנט: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 – פישוט

פשטו את $\log_2 8 + \log_2 4$.

  • $= \log_2(8 \cdot 4) = \log_2 32$
  • $= 5$ (כי $2^5=32$)

דוגמה 2 – משוואה אקספוננציאלית

פתרו $3^x = 81$.

  • $\log_3$ לשני האגפים: $x = \log_3 81$
  • $81 = 3^4 \Rightarrow x = 4$

דוגמה 3 – חזקה

פשטו את $\log_5 125^2$.

  • $= 2 \log_5 125$
  • $= 2 \cdot 3 = 6$

דוגמה 4 – החלפת בסיס

חשבו $\log_2 10$ בעזרת לוג בבסיס 10.

  • $\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0.301}$
  • $\approx 3.322$

שאלות נפוצות

למה אסור $x \le 0$ באוגרמנט?

כי לא קיים מספר חיובי שמועלה בחזקה ייתן 0 או מספר שלילי. הלוג מוגדר רק לארגומנטים חיוביים.

למה $b=1$ אסור?

כי $1$ בכל חזקה שווה $1$ – ולכן לא ניתן להגדיר לוג חד-ערכי לבסיס $1$.

למה $\log_b b^x = x$?

זה ישירות מההגדרה – חזרה הפוכה של המעריכית והלוגריתמית מבטלת זו את זו.

נתקעתם על לוגריתמים?

מורים פרטיים מנוסים מסבירים לוגים בצורה ברורה, עד שהחוקים נכנסים לראש.

מצאו מורה פרטי

קראו עוד

חוקי חזקות נוסחת השורשים אינטגרלים חקירת פונקציה ערך מוחלט