ערך מוחלט – הגדרה, חוקים, ומשוואות

חוקים חשובים

• $|x| \ge 0$ תמיד.
• $|x| = 0 \iff x = 0$.
• $|-x| = |x|$.
• $|x \cdot y| = |x|\cdot|y|$.
• $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ עבור $y \ne 0$.
• $|x|^2 = x^2$.
• אי-שוויון המשולש: $|x + y| \le |x| + |y|$.

פתרון משוואות עם ערך מוחלט

למשוואה $|f(x)| = a$:

• אם $a < 0$ – אין פתרון.
• אם $a = 0$ – פותרים $f(x) = 0$.
• אם $a > 0$ – פותרים את שתי המשוואות $f(x) = a$ ו-$f(x) = -a$.

פתרון אי-שוויונות עם ערך מוחלט

עבור $a > 0$:

• $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$.
• $|f(x)| > a \iff f(x) > a\ \text{או}\ f(x) < -a$.
• $|f(x)| \le a$ ו-$|f(x)| \ge a$ פועלים דומה, עם אי-שוויונות חלשים.

דוגמאות פתורות