למה מוסיפים תמיד +C?

כי כל קבוע נגזרתו אפס. לכן אם F(x) קדומה של f, גם F(x)+5 או F(x)+100 קדומות של f. ה-+C מייצג את כל המשפחה האינסופית הזו.

מה ההבדל בין אינטגרל לא מסויים למסויים?

אינטגרל לא מסויים מחזיר פונקציה (F(x)+C). אינטגרל מסויים מחזיר מספר – לרוב שטח – בעזרת נוסחת ניוטון-לייבניץ F(b)-F(a).

מתי משתמשים בשיטת ההצבה ומתי באינטגרציה בחלקים?

הצבה: כשרואים פונקציה ואת הנגזרת שלה (או כפולה שלה) באינטגרנד. בחלקים: כשיש מכפלה של פונקציה אלגברית עם פונקציה לוגריתמית, טריגונומטרית או מעריכית.

אינטגרל לא מסויים – הסבר, נוסחאות ודוגמאות פתורות

Q: מה זה אינטגרל לא מסויים?

אינטגרל לא מסויים של פונקציה f(x) הוא משפחת כל הפונקציות הקדומות שלה: F(x) + C, כך ש-F'(x) = f(x). התוצאה אינה מספר אלא ביטוי תלוי-x עם קבוע אינטגרציה C.

הגדרה

$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C \;\;\Longleftrightarrow\;\; F'(x) = f(x)$

$F(x)$ – פונקציה קדומה · $C$ – קבוע אינטגרציה

מה זה אינטגרל לא מסויים?

אינטגרל לא מסויים של פונקציה $f(x)$ הוא משפחת כל הפונקציות הקדומות שלה – כלומר כל הפונקציות $F(x)$ שמקיימות $F'(x)=f(x)$. בניגוד לאינטגרל המסויים שמחזיר מספר, התוצאה כאן היא ביטוי תלוי $x$ ועוד קבוע $C$.

למשל: $\int 2x\,dx = x^2 + C$, כי הנגזרת של $x^2 + C$ היא $2x$ לכל בחירה של הקבוע $C$.

טבלת אינטגרלים בסיסיים

$\displaystyle\int k\,dx = kx + C$
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \ne -1)$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
$\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$
$\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
$\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$

תכונות יסוד

לינאריות: $\int \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$
הוצאת קבוע: $\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$
קשר עם הנגזרת: $\dfrac{d}{dx}\!\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x)$

שיטות אינטגרציה

שיטת ההצבה (שינוי משתנה)

בוחרים $u = g(x)$ ואז $du = g'(x)\,dx$. האינטגרל הופך ל-$\int f(u)\,du$ – הרבה פעמים פשוט יותר.

מתאים כש-באינטגרנד מופיעים גם פונקציה $g(x)$ וגם הנגזרת $g'(x)$ (או כפולה שלה).

אינטגרציה בחלקים

$\displaystyle\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$

מתאים בעיקר למכפלות מהצורה $x\cdot e^x$, $x\cdot \ln x$, $x\cdot \sin x$ וכדומה.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 – חוק החזקה

חשבו $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$.

על כל איבר בנפרד (לינאריות):
$\int 3x^2\,dx = x^3$
$\int -4x\,dx = -2x^2$
$\int 5\,dx = 5x$
$= x^3 - 2x^2 + 5x + C$

דוגמה 2 – הצבה

חשבו $\displaystyle\int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx$.

נציב $u=x^2+1 \Rightarrow du=2x\,dx$
$\int \sqrt{u}\,du = \tfrac{2}{3}u^{3/2}+C$
חוזרים ל-$x$: $= \tfrac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}+C$

דוגמה 3 – אינטגרציה בחלקים

חשבו $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$.

$u=x,\ dv=e^x\,dx$
$du=dx,\ v=e^x$
$=x\,e^x - \int e^x\,dx$
$= x\,e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

דוגמה 4 – פונקציה רציונלית

חשבו $\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+3}\,dx$.

נציב $u=2x+3 \Rightarrow du=2\,dx$
$= \tfrac{1}{2}\int \tfrac{1}{u}\,du$
$= \tfrac{1}{2}\ln|2x+3| + C$

שאלות נפוצות

למה תמיד מוסיפים $+C$?

כי הנגזרת של קבוע היא אפס. לכן אם $F(x)$ קדומה של $f$, גם $F(x)+5$ או $F(x)+100$ קדומות שלה. ה-$+C$ מבטא את כל המשפחה האפשרית.

איך בודקים שהתשובה נכונה?

פשוט גוזרים את התוצאה. אם קיבלנו את הפונקציה שאיתה התחלנו – האינטגרציה נכונה.

מתי שיטת ההצבה לא עובדת?

כשהאינטגרנד הוא מכפלה של פונקציות שאינן קשורות בנגזרת זו לזו, למשל $x\cdot\sin x$. במקרה כזה ננסה אינטגרציה בחלקים.

האם לכל פונקציה יש פונקציה קדומה אלמנטרית?

לא. למשל $\int e^{-x^2}\,dx$ אינו ניתן להבעה בפונקציות אלמנטריות, גם אם הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל $x$.

מתכוננים לבגרות 5 יח"ל?

מורים פרטיים מנוסים באינטגרלים, חקירת פונקציה ובעיות מילוליות לבגרות.

מצאו מורה פרטי