זריקת קוביה
מה ההסתברות לקבל מספר זוגי?
- תוצאות אפשריות: 1,2,3,4,5,6 (6)
- תוצאות רצויות: 2,4,6 (3)
- P = 3/6 = 0.5
ההגדרה הקלאסית
תקף כאשר כל התוצאות שוות הסתברות (קוביה הוגנת, מטבע, חפיסת קלפים)
תכונות בסיסיות
- הסתברות תמיד בין 0 ל-1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- סכום ההסתברויות של כל התוצאות במרחב המדגם = 1.
- מאורע משלים: P(לא A) = 1 − P(A).
חוקי חיבור וכפל
חיבור (איחוד מאורעות)
אם המאורעות זרים (לא יכולים לקרות יחד), אז P(A∩B) = 0 והנוסחה מצטמצמת ל-P(A) + P(B).
כפל (חיתוך מאורעות)
אם המאורעות בלתי תלויים: P(A∩B) = P(A) · P(B).
הסתברות מותנית
דוגמאות פתורות
שני מטבעות
מטילים מטבע פעמיים. מה ההסתברות לשני "עץ"?
- הטלות בלתי תלויות
- P(עץ) בכל פעם = 0.5
- P(עץ ועץ) = 0.5 · 0.5 = 0.25
טבלאות דו-ממדיות ועצים
בבעיות הסתברות מורכבות עוזרים שני כלים גרפיים:
- עץ הסתברות: מתאים לשרשרת מאורעות (למשל הוצאת כדורים בזה אחר זה). הסתברות מסלול = מכפלת הענפים שעל המסלול.
- טבלה דו-ממדית: כל תא מציין הסתברות משותפת של שני משתנים. מתאים לבעיות "בייס" ולחישוב הסתברות מותנית.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין מאורעות זרים לבלתי תלויים?
זרים – לא יכולים לקרות יחד (P(A∩B)=0). בלתי תלויים – הסתברות שאחד יקרה לא משפיעה על השני (P(A|B)=P(A)). אלו מושגים שונים לחלוטין.
מתי הסיכויים בלתי תלויים?
למשל הטלות מטבע חוזרות, או בחירת כדור עם החזרה. הוצאת קלפים בלי החזרה, לעומת זאת, יוצרת תלות.
מה זה משפט בייס?
נוסחה להיפוך תנאים: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B). שימושית במצבים שבהם קל לחשב כיוון אחד יותר מהשני.