אסימפטוטה אנכית – הגדרה, כללים ודוגמאות

הגדרה

הישר x = a נקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה f(x) אם הגבול של f(x) כאשר x שואף ל-a מצד שמאל או מצד ימין שואף לאינסוף (חיובי או שלילי):

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \infty \text{או}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

בנקודה הזו הפונקציה אינה מוגדרת, והגרף שלה מתקרב באופן בלתי-מוגבל לישר x = a בלי לגעת בו.

איך מוצאים אסימפטוטות אנכיות?

פונקציה רציונלית f(x) = P(x) / Q(x)

1. פותרים את המשוואה Q(x) = 0 – אלו הם המועמדים לאסימפטוטות.
2. לכל פתרון x = a בודקים: אם P(a) ≠ 0, אז x = a היא אסימפטוטה אנכית.
3. אם גם P(a) = 0 – יש להצטמצם בשבר (לצמצם גורם משותף). אחרי הצמצום, אם הביטוי החדש לא מתאפס שם – זו נקודת חור, לא אסימפטוטה.

פונקציית לוגריתם ln

הפונקציה ln(g(x)) דורשת g(x) > 0. בכל נקודה שבה g(x) → 0⁺ מתקבלת אסימפטוטה אנכית עם הפונקציה שואפת ל-−∞.

פונקציות טריגונומטריות

לפונקציה tan(x) יש אסימפטוטות אנכיות בכל x = π/2 + π·k, כי שם cos(x) = 0. לפונקציה cot(x) – אסימפטוטות ב-x = π·k (כי sin(x) = 0).

אסימפטוטה לעומת "חור"

שני המצבים מתחילים אותו דבר – נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת – אבל ההתנהגות סביבה שונה לחלוטין:

דוגמאות פתורות