אינטגרל מסויים – המדריך המלא

האינטגרל המסויים מחזיר מספר שמייצג את השטח (החתום) בין הגרף של $f(x)$ לציר $x$ בקטע מסוים. בעמוד הזה תלמדו את נוסחת ניוטון-לייבניץ, את התכונות החשובות, איך לחשב שטח בין שני גרפים – עם דוגמאות פתורות לבגרות.

נוסחת ניוטון-לייבניץ

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

$F$ – פונקציה קדומה כלשהי של $f$ · $a,b$ – גבולות האינטגרציה

מה זה אינטגרל מסויים?

אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה $f(x)$ בקטע $[a,b]$ הוא מספר ממשי. גיאומטרית הוא שווה לסכום החתום של השטחים בין הגרף לציר $x$ בקטע: שטחים מעל הציר נספרים בחיוב, שטחים מתחת לציר נספרים בשלילה.

בניגוד לאינטגרל הלא מסויים – שמחזיר משפחת פונקציות $F(x)+C$ – כאן הקבוע מתבטל ($C-C=0$) ולכן אין צורך להוסיף $+C$.

איך מחשבים אינטגרל מסויים – שלב אחר שלב

  1. מוצאים פונקציה קדומה $F(x)$ של $f(x)$ (כלומר $F'(x)=f(x)$).
  2. מציבים את הגבול העליון: מחשבים $F(b)$.
  3. מציבים את הגבול התחתון: מחשבים $F(a)$.
  4. מחסירים: התוצאה הסופית היא $F(b) - F(a)$.

נהוג לסמן את שלב ההצבה כך: $\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)$.

תכונות יסוד של אינטגרל מסויים

  • $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$
  • $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$
  • $\displaystyle\int_a^b \bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha\!\int_a^b f(x)\,dx + \beta\!\int_a^b g(x)\,dx$
  • תכונת הפיצול: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ לכל $c$ בקטע.

חישוב שטח

שטח מתחת לגרף

אם $f(x) \ge 0$ בקטע $[a,b]$, השטח הכלוא בין הגרף לציר $x$ הוא $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

אם $f(x) \le 0$ בקטע, השטח הוא $\displaystyle-\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx$.

אם הסימן מתחלף – מפצלים את האינטגרל בנקודות החיתוך עם ציר $x$ ולוקחים ערך מוחלט בכל חלק שלילי.

שטח בין שני גרפים

נתונות שתי פונקציות $f$ (העליונה) ו-$g$ (התחתונה) בקטע $[a,b]$. השטח הכלוא ביניהן הוא:

$\displaystyle S = \int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$

אם הסדר בין הפונקציות מתחלף בתוך הקטע – מפצלים את האינטגרל בנקודות החיתוך ובכל חלק לוקחים את "העליונה פחות התחתונה".

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 – חישוב בסיסי

חשבו $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.

  • פונקציה קדומה: $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$
  • $F(2) = \dfrac{8}{3}$, $F(0)=0$
  • $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{8}{3}$

דוגמה 2 – פולינום

חשבו $\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2 - 2x)\,dx$.

  • $F(x) = x^3 - x^2$
  • $F(2) = 8 - 4 = 4$
  • $F(-1) = -1 - 1 = -2$
  • $= 4 - (-2) = 6$

דוגמה 3 – שטח בין גרפים

חשבו את השטח הכלוא בין $f(x)=x^2$ ל-$g(x)=2x$.

  • נקודות חיתוך: $x^2=2x \Rightarrow x=0,\,2$
  • בקטע $[0,2]$ מתקיים $g \ge f$, לכן העליונה היא $g$.
  • $\displaystyle S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \tfrac{x^3}{3}\right]_0^2$
  • $= 4 - \tfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$

דוגמה 4 – שטח עם פיצול

חשבו את השטח בין הגרף של $f(x)=x$ לציר $x$ בקטע $[-1,2]$.

  • $f$ שלילית ב-$[-1,0]$ וחיובית ב-$[0,2]$ – מפצלים.
  • $\displaystyle\int_0^2 x\,dx = \tfrac{x^2}{2}\Big|_0^2 = 2$
  • $\displaystyle\int_{-1}^0 x\,dx = -\tfrac{1}{2}$, השטח הוא $\tfrac{1}{2}$.
  • סה"כ שטח: $2 + \tfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

שאלות נפוצות

למה לא מוסיפים $+C$ באינטגרל מסויים?

כי הקבוע מתבטל בחיסור: $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$. בחירת הפונקציה הקדומה לא משפיעה על התוצאה.

מה לעשות אם הגבולות הפוכים?

משתמשים בתכונה $\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$ – החלפת גבולות הופכת את הסימן.

איך יודעים איזו פונקציה היא העליונה כשמחפשים שטח בין גרפים?

בוחרים נקודה כלשהי בתוך הקטע ומציבים בשתי הפונקציות – הגדולה יותר היא העליונה. אפשר גם להעיף מבט בגרף.

האם אינטגרל מסויים יכול להיות אפס בלי שהפונקציה היא 0?

כן. למשל $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$ כי השטחים שמעל ומתחת לציר מתבטלים זה את זה. זה לא שטח – זה אינטגרל מסויים (חתום).

מתכוננים לבגרות 5 יח"ל?

שטחים, אינטגרלים ובעיות מילוליות – מורים פרטיים יעזרו לכם להגיע מוכנים לבגרות.

מצאו מורה פרטי

קראו עוד

אינטגרל לא מסויים אינטגרלים – מדריך כללי מחשבון אינטגרלים חקירת פונקציה נגזרת מכפלה מחשבון נגזרת