حلّان مختلفان
حلّ المعادلة: x² − 5x + 6 = 0
- a = 1, b = −5, c = 6
- Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
- x = (5 ± √1) ÷ 2 = (5 ± 1) ÷ 2
- x₁ = 3, x₂ = 2
الجواب: x = 2 أو x = 3.
القانون العام
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
a, b, c – معاملات المعادلة ax² + bx + c = 0 (حيث a ≠ 0)
متى نستعمل القانون؟
نستعمل القانون العام لحلّ أي معادلة تربيعية على الصورة:
ax² + bx + c = 0
القانون يعمل دائمًا، حتى عندما لا تقبل المعادلة التحليل إلى عوامل. لذلك يُعدّ الأداة الأكثر أمانًا في الامتحانات.
خطوات الحل
- نُرتّب المعادلة على الصورة ax² + bx + c = 0.
- نحدّد قيم a، b، c.
- نحسب المميّز: Δ = b² − 4ac.
- نُعوّض في القانون: x = (−b ± √Δ) ÷ 2a.
- نحسب الحلّين بفصل ± إلى جمع ثم طرح.
المميّز Δ وعدد الحلول
- Δ > 0 ← حلّان حقيقيان مختلفان (المنحنى يقطع المحور x في نقطتين).
- Δ = 0 ← حل حقيقي واحد مزدوج (المنحنى يلامس المحور x).
- Δ < 0 ← لا يوجد حل حقيقي (المنحنى لا يقطع المحور x).
أمثلة محلولة
حل مزدوج
حلّ المعادلة: x² − 6x + 9 = 0
- a = 1, b = −6, c = 9
- Δ = 36 − 36 = 0
- x = 6 ÷ 2 = 3
الجواب: حل واحد مزدوج x = 3.
أسئلة شائعة
ماذا أفعل عندما يكون a سالبًا؟
القانون يعمل بشكل عادي، لكن انتبه إلى الإشارات أثناء التعويض. كثيرًا ما يفيد ضرب المعادلة بـ (−1) لجعل a موجبًا قبل البدء.
هل يمكن استعمال القانون عند b = 0 أو c = 0؟
نعم، لكن من الأسرع غالبًا حلّها مباشرة: إذا كان c = 0 يمكن إخراج x كعامل مشترك، وإذا كان b = 0 يمكن نقل c إلى الطرف الآخر وأخذ الجذر.
كيف أتأكد أن جوابي صحيح؟
عوّض كل جذر في المعادلة الأصلية وتأكد أنها تساوي صفرًا. تحقّق إضافي: مجموع الجذور يساوي −b/a وحاصل ضربها يساوي c/a.
تحتاج إلى مساعدة في الجبر؟
على شيعوريم تجد معلمين خصوصيين متخصصين في تحضير امتحانات البجروت في الرياضيات.
ابحث عن معلّم خصوصي