حساب الوتر
في مثلث قائم الزاوية، الضلعان القائمان طولهما 3 و 4. ما طول الوتر؟
- a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5
الجواب: طول الوتر يساوي 5.
نظرية فيثاغورس
a² + b² = c²
a, b – الضلعان القائمان (يلتقيان في الزاوية القائمة) · c – الوتر (الضلع الأطول، المقابل للزاوية القائمة)
ماذا تقول نظرية فيثاغورس؟
في كل مثلث إحدى زواياه قائمة (90°)، يكون مجموع مربعَي الضلعين القصيرين (الضلعين القائمين) مساويًا لمربع الضلع الأطول (الوتر). أي إذا عرفنا ضلعين، يمكننا دائمًا حساب الضلع الثالث.
من المهم أن نتذكر أن النظرية تنطبق فقط على المثلث القائم الزاوية. في باقي المثلثات نستعمل قانون جيوب التمام (قانون الكوسينوس).
كيف نستعمل القانون؟
- نحدّد الوتر – الضلع الأطول والمقابل للزاوية القائمة.
- لإيجاد الوتر: c = √(a² + b²).
- لإيجاد ضلع قائم مجهول: a = √(c² − b²).
- نتأكد أن الجواب منطقي – الوتر دائمًا أكبر من كل ضلع قائم.
أمثلة محلولة
حساب ضلع قائم
الوتر طوله 13 وأحد الضلعين القائمين طوله 5. ما طول الضلع الثاني؟
- a² = c² − b² = 169 − 25 = 144
- a = √144 = 12
الجواب: الضلع الثاني طوله 12.
تطبيقات من الحياة اليومية
- البناء والتصميم: فحص ما إذا كانت زاوية ما قائمة باستعمال الثلاثية 3–4–5.
- الملاحة والقياس: حساب المسافة الجوية بين نقطتين على شبكة إحداثيات.
- التكنولوجيا: أي حساب لمسافة بين نقاط (رسومات، GPS، نمذجة ثلاثية الأبعاد).
الثلاثيات الفيثاغورية الشائعة
الثلاثيات الفيثاغورية هي مجموعات من ثلاثة أعداد صحيحة تحقق a² + b² = c². معرفتها توفّر الوقت في الامتحانات:
- 3 – 4 – 5
- 5 – 12 – 13
- 8 – 15 – 17
- 7 – 24 – 25
أسئلة شائعة
متى يمكن استعمال نظرية فيثاغورس؟
فقط في المثلث القائم الزاوية. إذا لم تكن الزاوية 90° يجب الانتقال إلى قانون جيوب التمام أو طريقة أخرى.
كيف نميّز الوتر؟
الوتر هو دائمًا أطول ضلع في المثلث، ويقع مقابل الزاوية القائمة (90°). الضلعان القائمان يكوّنان الزاوية القائمة بينهما.
ما هي الثلاثيات الفيثاغورية الأكثر شيوعًا؟
أبرزها: 3-4-5، 5-12-13، 8-15-17، 7-24-25. حفظها يوفّر حسابات كثيرة في الامتحانات.
كيف تساعد النظرية في امتحان البجروت؟
هي الأساس لكل الهندسة التحليلية – المسافة بين نقطتين، طول الشعاع، وغيرها. تكاد لا تخلو منها مسألة هندسية في المستوى.
تحتاج إلى مساعدة في الرياضيات؟
على شيعوريم تجد مئات المعلمين الخصوصيين المتميزين في الرياضيات – من المدرسة حتى البجروت.
ابحث عن معلّم خصوصي