מציאת קטע האמצעים
בטרפז הבסיסים הם 8 ס"מ ו-14 ס"מ. מה אורך קטע האמצעים?
- m = (8 + 14) / 2
- m = 22 / 2 = 11 ס"מ
קטע אמצעים בטרפז
m = (a + b) / 2
a, b – שני הבסיסים · m – אורך קטע האמצעים
הגדרה
בטרפז ABCD (כאשר AB ∥ CD הם הבסיסים, BC ו-AD השוקיים), קטע האמצעים הוא הקטע המחבר בין אמצע BC לאמצע AD.
המשפט
בטרפז, קטע האמצעים:
- מקביל לשני הבסיסים
- אורכו שווה לממוצע אורכי הבסיסים: m = (a + b) / 2
הוכחה (בקצרה)
נסמן M אמצע BC ו-N אמצע AD. מעבירים את אלכסון BD ומסמנים נקודה K – החיתוך עם MN. במשולש BCD: M אמצע BC, K נמצא על MN המקביל ל-CD ⟹ K אמצע BD ו-MK = ½CD. באופן דומה במשולש ABD: KN = ½AB. סכימה: MN = MK + KN = ½(AB + CD). ∎
דוגמאות פתורות
מציאת בסיס
קטע האמצעים בטרפז הוא 9 ס"מ. בסיס אחד הוא 6. מה הבסיס השני?
- 9 = (6 + b) / 2
- 18 = 6 + b
- b = 12 ס"מ
קשר לשטח הטרפז
הנוסחה לשטח טרפז: S = (a + b)·h / 2. אם נציב m = (a+b)/2, מקבלים:
S = m · h
כלומר השטח של טרפז שווה לאורך קטע האמצעים כפול הגובה – בדיוק כמו מלבן שבסיסו m וגובהו h.
שאלות נפוצות
מה ההבדל מקטע אמצעים במשולש?
במשולש קטע האמצעים שווה לחצי הצלע השלישית. בטרפז – לממוצע שני הבסיסים. למעשה משולש אפשר לראות כטרפז שאחד מבסיסיו אפס, ואז (a+0)/2 = a/2 – אותו דבר.
קטע האמצעים תמיד בתוך הטרפז?
כן, ובדיוק במחצית הדרך בין הבסיסים מבחינת גובה. הוא מקביל להם ונמצא במרחק שווה משניהם.
איך משתמשים בזה בהוכחות?
בעיקר בבעיות עם נקודות אמצע. אם נתון שנקודה היא אמצע שוק וצריך להוכיח הקבלה לבסיס, או למצוא אורך – קטע האמצעים הוא הכלי.