משולש שווה שוקיים – הגדרה, תכונות ומשפטים

הגדרה ומונחים

משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש בו שתי צלעות שוות באורכן. במשולש ABC ש-AB = AC:

• שוקיים: שתי הצלעות השוות (AB ו-AC).
• בסיס: הצלע השלישית (BC).
• זוויות הבסיס: הזוויות הצמודות לבסיס (זוויות B ו-C).
• זווית הראש: הזווית מול הבסיס (זווית A).

תכונות עיקריות

במשולש שווה שוקיים כל התכונות הבאות מתקיימות יחד:

1. זוויות הבסיס שוות: ∠B = ∠C.
2. הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס, גם חוצה זווית הראש, וגם אנך אמצעי לבסיס – כל ארבעת הקווים מתלכדים לאותו קטע.
3. ציר סימטריה: הגובה לבסיס הוא ציר סימטריה של המשולש – שיקוף סביבו מעביר את המשולש לעצמו.
4. סכום זוויות הבסיס: 180° - ∠A, ולכן כל זווית בסיס היא (180° - ∠A) / 2.

משפטים והוכחות

משפט (הישר): במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.

משפט (ההפוך): אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות (כלומר זהו משולש שווה שוקיים).

משפט נוסף: במשולש שווה שוקיים, התיכון לבסיס, הגובה לבסיס וחוצה זווית הראש – הם אותו קטע. (כלומר: די להוכיח שאחד מהם הוא גם השני כדי להוכיח שהמשולש שווה שוקיים.)

הוכחה קצרה לזוויות הבסיס: שיקוף המשולש סביב חוצה זווית הראש מעביר את AB ל-AC (כי הן שוות) ואת זווית B לזווית C. לכן ∠B = ∠C ∎.

נוסחאות

• שטח: S = (½) · a · h כאשר a הוא הבסיס ו-h הגובה לבסיס.
• גובה לבסיס (לפי משפט פיתגורס בחצי מהמשולש): h = √(b² - (a/2)²) – b אורך השוק, a אורך הבסיס.
• היקף: P = 2b + a.

דוגמאות פתורות