מהי משוואת מעגל בצורה קנונית?

הצורה הקנונית של משוואת מעגל היא (x - a)² + (y - b)² = R², כאשר (a, b) הוא מרכז המעגל ו-R הוא רדיוס המעגל. הצורה הזו 'מגלה' מיד את המרכז ואת הרדיוס.

איך עוברים מצורה כללית לצורה קנונית?

בצורה הכללית x² + y² + Dx + Ey + F = 0 משתמשים בהשלמה לריבוע: מוסיפים ומחסרים (D/2)² עבור x ו-(E/2)² עבור y. מקבלים את הצורה הקנונית שמגלה את המרכז (-D/2, -E/2) ואת הרדיוס √((D/2)² + (E/2)² - F).

משוואת מעגל – הסבר, נוסחה ודוגמאות פתורות

Q: איך כותבים משוואת מעגל מנתונים?

אם נתון מרכז ורדיוס – מציבים ישירות בצורה הקנונית. אם נתון מרכז ונקודה על המעגל – הרדיוס הוא המרחק ביניהם. אם נתונות שלוש נקודות על המעגל – פותרים מערכת משוואות עם המשתנים a, b, R.

משוואת מעגל – צורה קנונית

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

מרכז המעגל: (a, b) · רדיוס: R

מאיפה הנוסחה?

נקודה (x, y) נמצאת על מעגל בעל מרכז (a, b) ורדיוס R אם ורק אם המרחק שלה מהמרכז שווה ל-R. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R$

בריבוע שני האגפים מקבלים את משוואת המעגל הקנונית.

שתי הצורות של משוואת מעגל

1. צורה קנונית

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

הצורה השימושית ביותר: רואים מיד את המרכז (a, b) ואת הרדיוס R.

2. צורה כללית

$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$

זו הצורה שמתקבלת אחרי פתיחת הסוגריים בקנונית. ממנה לא רואים את המרכז והרדיוס – צריך לעבור חזרה לצורה הקנונית.

הקשר בין המקדמים:

מרכז המעגל: (-D/2, -E/2)
רדיוס: R = √((D/2)² + (E/2)² - F)

מעבר בין צורות – השלמה לריבוע

שיטה: לכל אחד מהמשתנים x ו-y, לוקחים חצי מהמקדם הליניארי, מעלים בריבוע, ומוסיפים/מחסרים. בודקים עם דוגמה: x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0:

קבצו לפי משתנים: (x² - 6x) + (y² + 4y) = 12
השלימו לריבוע: (x² - 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4
כתבו כריבועים: (x - 3)² + (y + 2)² = 25
זוהי משוואת מעגל עם מרכז (3, -2) ורדיוס 5.

איך כותבים משוואת מעגל מנתונים?

נתון מרכז ורדיוס

מציבים ישירות בצורה הקנונית. למשל מרכז (2, -3) ורדיוס 4: (x - 2)² + (y + 3)² = 16.

נתון מרכז ונקודה על המעגל

הרדיוס הוא המרחק בין המרכז לנקודה הנתונה. מחשבים אותו ואז מציבים בקנונית.

נתון קוטר (שתי נקודות קיצון של קוטר)

המרכז הוא אמצע הקוטר – משתמשים בנוסחת אמצע קטע. הרדיוס הוא חצי אורך הקוטר.

נתונות שלוש נקודות על המעגל

פותרים מערכת של שלוש משוואות במשתנים a, b, R על ידי הצבת כל אחת מהנקודות בקנונית.

דוגמאות פתורות

מציאת מרכז ורדיוס

מצאו את מרכז המעגל ואת רדיוסו אם משוואתו x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0.

(x² - 4x) + (y² + 6y) = 12
(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9
(x - 2)² + (y + 3)² = 25
מרכז: (2, -3). רדיוס: 5.

מעגל לפי מרכז ונקודה

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו ב-(1, 2) ועובר דרך הנקודה (4, 6).

הרדיוס = המרחק מהמרכז לנקודה
R = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
(x - 1)² + (y - 2)² = 25

שאלות נפוצות

איך בודקים אם נקודה נמצאת על המעגל?

מציבים את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל. אם מתקיים השוויון – הנקודה על המעגל. אם האגף השמאלי קטן מ-R² – הנקודה בפנים. אם גדול – בחוץ.

מה קורה אם הרדיוס יוצא מספר שלילי או 0?

רדיוס לא יכול להיות שלילי, ואם R² = 0 מדובר ב"מעגל מנוון" – נקודה אחת. אם הביטוי תחת השורש יוצא שלילי, המשוואה לא מתארת מעגל אמיתי.

איך מוצאים משוואת משיק למעגל?

משיק בנקודה (x₀, y₀) על המעגל הוא הישר העובר דרך הנקודה ומאונך לרדיוס באותה נקודה. שיפוע הרדיוס מהמרכז לנקודה הוא (y₀-b)/(x₀-a), ושיפוע המשיק הוא ההופכי הנגדי.

צריכים עזרה בגיאומטריה אנליטית?

מורים פרטיים יסבירו לכם משוואת מעגל, ישרים מקבילים ומאונכים, מרחקים ועוד.

מצאו מורה פרטי