מציאת צלע
במשולש: a = 6, b = 8, C = 60°.
- c² = 36 + 64 − 2·6·8·cos 60°
- c² = 100 − 96 · 0.5 = 100 − 48 = 52
- c = √52 ≈ 7.21
משפט הקוסינוסים
a, b – הצלעות הכלולות בזווית · C – הזווית הכלואה · c – הצלע הנגדית
שלוש הצורות של הנוסחה
לפי סדר הזווית והצלעות, אפשר לכתוב אותה בשלוש דרכים שקולות:
מתי להשתמש
- SAS (שתי צלעות וזווית כלואה) – למציאת הצלע השלישית.
- SSS (שלוש צלעות) – למציאת זווית: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab).
- במצב של AAS / ASA / SSA – עדיף משפט הסינוסים.
דוגמאות פתורות
מציאת זווית
במשולש: a = 5, b = 7, c = 9.
- cos C = (25 + 49 − 81) / (2·5·7) = −7/70 = −0.1
- C = cos⁻¹(−0.1) ≈ 95.74°
שאלות נפוצות
איך הנוסחה קשורה למשפט פיתגורס?
כאשר C = 90°, cos C = 0, והנוסחה הופכת ל-c² = a² + b². כלומר משפט פיתגורס הוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים.
מה משמעות הסימן השלילי?
כשהזווית קהה (גדולה מ-90°), cos C שלילי, וזה גורם לכך ש-c² גדול מ-a² + b². כלומר הצלע הנגדית גדולה ממה שהיינו מקבלים במשולש ישר-זווית.
איך זוכרים את הנוסחה?
חשבו עליה כעל "פיתגורס מתוקן": לוקחים a² + b² ו"מתקנים" עם המינוס 2ab·cos C כדי לכלול את הזווית.