ראיתם ביטוי בצורת x² + 2·x·k + k²?
זה ריבוע סכום – פרקו ל-(x + k)².
שלוש הנוסחאות
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²
ריבוע סכום · ריבוע הפרש · הפרש ריבועים
1. ריבוע סכום
(a + b)² = a² + 2ab + b²
פתיחה ישירה: (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + 2ab + b². האיבר האמצעי 2ab מגיע משתי המכפלות הצולבות.
הוכחה גיאומטרית: אם בונים ריבוע שצלעו a + b, שטחו (a+b)². אפשר לחלק אותו לארבעה חלקים: ריבוע a², ריבוע b², ושני מלבנים זהים של a·b – סה"כ a² + 2ab + b².
2. ריבוע הפרש
(a − b)² = a² − 2ab + b²
אותו רעיון, רק עם סימן מינוס באיבר האמצעי: (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². שימו לב ש-b² חיובי (מינוס כפול מינוס).
3. הפרש ריבועים
(a − b)(a + b) = a² − b²
זו אולי השימושית מכולן. הפתיחה מבטלת את האיברים האמצעיים: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². בכיוון ההפוך, כל ביטוי בצורת a² − b² ניתן לפירוק כמכפלה.
טבלת זיהוי דפוסים
ראיתם ביטוי בצורת x² − 2·x·k + k²?
זה ריבוע הפרש – פרקו ל-(x − k)².
ראיתם ביטוי בצורת x² − k²?
זה הפרש ריבועים – פרקו ל-(x − k)(x + k).
ראיתם x² + k²?
סכום ריבועים – לא ניתן לפירוק במספרים הממשיים.
דוגמאות פתורות
פתיחת ריבוע סכום
פתחו: (x + 5)².
- (x + 5)² = x² + 2·x·5 + 5²
- = x² + 10x + 25
פתיחת ריבוע הפרש
פתחו: (2x − 3)².
- (2x − 3)² = (2x)² − 2·(2x)·3 + 3²
- = 4x² − 12x + 9
פירוק הפרש ריבועים
פרקו לגורמים: x² − 49.
- זיהוי: 49 = 7² – זה הפרש ריבועים.
- x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
פירוק ריבוע סכום שלם
פרקו לגורמים: x² + 6x + 9.
- זיהוי: 9 = 3² ו-6x = 2·x·3 – זה ריבוע סכום.
- = (x + 3)²
חישוב מהיר במספרים
חשבו 102² בלי מחשבון.
- 102² = (100 + 2)² = 100² + 2·100·2 + 2²
- = 10000 + 400 + 4 = 10404
הפרש ריבועים בחישוב
חשבו 53·47 בלי מחשבון.
- 53·47 = (50 + 3)(50 − 3) = 50² − 3²
- = 2500 − 9 = 2491
טעויות נפוצות
- שכחה של האיבר האמצעי: (a + b)² ≠ a² + b². תמיד יש 2ab באמצע.
- סימן שגוי ב-b²: ב-(a − b)² האיבר b² חיובי (מינוס בריבוע = פלוס).
- פירוק שגוי של סכום ריבועים: a² + b² לא ניתן לפירוק בממשיים.
- פירוק חלקי: תמיד בדקו שהוצאתם גם גורם משותף לפני שמשתמשים בנוסחה (למשל 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2)).
שאלות נפוצות
איך זוכרים את הנוסחאות בקלות?
הטריק: ריבוע של ביטוי בסוגריים = ריבוע האיבר הראשון, פלוס/מינוס פעמיים המכפלה, פלוס ריבוע האיבר השני. הסימן באמצע מתאים לסימן שבסוגריים. הפרש ריבועים – פשוט תזכרו ש-(הפרש)(סכום) = הפרש ריבועים.
מתי משתמשים בנוסחאות?
בכל מקום: פתיחת סוגריים, פישוט ביטויים, פירוק לגורמים לפתרון משוואות ריבועיות, צמצום שברים אלגבריים, השלמה לריבוע, חישובים מהירים בראש – וכמובן בכל פרק האלגברה בבגרות.
האם יש עוד נוסחאות כפל מקוצר?
כן – בכיתות גבוהות לומדים גם: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, ו-a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²) (סכום והפרש קוביות). שלוש הנוסחאות בעמוד הזה הן הבסיסיות והנפוצות ביותר.
איך הנוסחאות קשורות לנוסחת השורשים?
הגזירה של נוסחת השורשים מתבססת על "השלמה לריבוע" – טכניקה שמשתמשת ישירות ב-(a + b)². מי שמכיר היטב את הנוסחאות מבין גם את ההיגיון מאחורי פתרון משוואות ריבועיות.