מה אומר משפט תאלס?

אם שלושה ישרים מקבילים או יותר חותכים שני ישרים שונים, הקטעים המתאימים שנוצרים בשני הישרים שווים ביחס. כלומר היחס בין הקטעים בישר הראשון שווה ליחס בין הקטעים המתאימים בישר השני.

מה ההבדל בין משפט תאלס למשפט תאלס במשולש?

משפט תאלס הכללי עוסק בשלושה ישרים מקבילים החותכים שני ישרים. משפט תאלס במשולש הוא מקרה פרטי: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש וחותך את שתי הצלעות האחרות מחלק אותן ביחס שווה.

מהו המשפט ההפוך למשפט תאלס?

אם ישר חותך שתי צלעות במשולש ויחס הקטעים שיצר בשתיהן שווה, אז הישר מקביל לצלע השלישית. זהו כלי שימושי להוכחת קיום מקבילים.

משפט תאלס – ניסוח, הוכחה ודוגמאות פתורות

המשפט (בקצרה)

\frac{A B}{BC} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

שלושה ישרים מקבילים החותכים שני ישרים יוצרים בהם קטעים מתאימים שווים ביחס.

ניסוח המשפט הכללי

נתונים שלושה ישרים מקבילים: a, b, c. שני ישרים נוספים, L₁ ו-L₂, חוצים את שלושת המקבילים בנקודות A, B, C (על L₁) ו-A', B', C' (על L₂). אז מתקיים:

$\frac{A B}{BC} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}$

במילים: היחס בין הקטעים שיוצרים המקבילים בישר אחד שווה ליחס בין הקטעים המתאימים בישר האחר.

משפט תאלס במשולש (מקרה פרטי)

הצורה הנפוצה ביותר בבית הספר: במשולש ABC, ישר המקביל לצלע BC חותך את AB בנקודה D ואת AC בנקודה E. אז:

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}$

וגם:

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}$

הצורה השנייה משמשת לרוב כדי למצוא אורכים: אם יודעים את היחס שבו ישר חוצה את אחת הצלעות, ניתן למצוא את האורך המתאים בצלע השנייה ובצלע המקבילה עצמה.

המשפט ההפוך למשפט תאלס

אם במשולש ABC ישר חותך את הצלעות AB ו-AC בנקודות D ו-E, ומתקיים:

$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}$

אז DE מקביל ל-BC. זה כלי שימושי במיוחד להוכחת מקבילית או טרפז – במקום להראות זוויות מתחלפות שוות, מספיק להראות יחס שווה בין קטעים.

הוכחה (בקצרה)

מוכיחים בעזרת דמיון משולשים. במשולש ADE ובמשולש ABC:

זווית A משותפת
זווית ADE = זווית ABC (זוויות מתאימות בין מקבילים DE ∥ BC)
לכן ADE ~ ABC (ז.ז) – משולשים דומים
מהדמיון נובע ש-AD/AB = AE/AC = DE/BC
מכך אפשר לגזור גם AD/DB = AE/EC ∎

דוגמאות פתורות

מציאת אורך קטע

במשולש ABC: DE ∥ BC, D על AB, E על AC. נתון: AD = 4, DB = 6, AE = 5. מצא את EC.

לפי משפט תאלס: AD/DB = AE/EC
4/6 = 5/EC
4·EC = 30
EC = 7.5

הוכחת מקבילים

במשולש ABC: D על AB, E על AC. נתון: AD = 3, DB = 9, AE = 2, EC = 6. הוכח ש-DE ∥ BC.

AD/DB = 3/9 = 1/3
AE/EC = 2/6 = 1/3
היחסים שווים → לפי המשפט ההפוך לתאלס: DE ∥ BC ∎

שאלות נפוצות

איך מזהים שצריך להשתמש בתאלס?

כל מקום שמופיעים בו ישרים מקבילים החותכים ישרים אחרים, ובמיוחד "ישר מקביל לצלע במשולש" – זהו דגל אדום לשימוש בתאלס.

מה ההבדל בין תאלס לדמיון משולשים?

תאלס נובע מדמיון משולשים, אבל הוא קצר יותר לכתיבה. בבגרות, אם הקטעים מופיעים בצורה ברורה של מקבילים – עדיף תאלס. אם צריך גם את הזוויות – עדיף לעבור דרך דמיון.

האם תאלס עובד גם בטרפז?

כן. בטרפז עם בסיסים מקבילים, כל ישר מקביל לבסיסים מחלק את השוקיים ביחס שווה. זה אותו עיקרון בדיוק.

נתקעים בגיאומטריה?

מורים פרטיים יעברו איתכם על תאלס, דמיון, חפיפה וכל ההוכחות לבגרות.

מצאו מורה פרטי