הטלת מטבע
מטילים מטבע הוגן 5 פעמים. מה ההסתברות לקבל בדיוק 3 פעמים "עץ"?
- n=5, k=3, p=½
- C(5,3) = 10
- P = 10 · (½)³ · (½)² = 10 · 1/32 = 10/32 = 5/16
- ≈ 0.3125
נוסחת ברנולי
P(X = k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n − k
n – מספר ניסויים · k – הצלחות · p – הסתברות להצלחה
מתי משתמשים בנוסחה?
נוסחת ברנולי מתאימה לסיטואציה שבה מתקיימים שלושת התנאים:
- מספר ניסויים קבוע n.
- הניסויים בלתי תלויים זה בזה.
- לכל ניסוי שתי תוצאות אפשריות (הצלחה או כישלון), כאשר הסתברות ההצלחה p זהה בכל ניסוי.
דוגמאות קלאסיות: הטלות מטבע, ניסויים חוזרים, שליפה עם החזרה.
הסבר מרכיבי הנוסחה
C(n,k)בכמה דרכים אפשר לבחור את k הניסויים שיצליחו
pkההסתברות שכל k הניסויים שנבחרו הצליחו
(1−p)n−kההסתברות שכל יתר n−k הניסויים נכשלו
דוגמאות פתורות
זריקת קובייה
זורקים קובייה 4 פעמים. מה ההסתברות לקבל "6" בדיוק פעמיים?
- n=4, k=2, p=1/6, q=5/6
- C(4,2) = 6
- P = 6 · (1/6)² · (5/6)² = 6 · 1/36 · 25/36
- P = 150 / 1296 ≈ 0.1157
"לפחות" – שיטה משלימה
קלע פוגע במטרה בהסתברות 0.7. הוא יורה 4 כדורים. מה ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת?
- P(לפחות 1) = 1 − P(אף פגיעה)
- P(0 פגיעות) = C(4,0)·0.7⁰·0.3⁴ = 0.0081
- P(לפחות 1) = 1 − 0.0081 = 0.9919
תוחלת ושונות (להעשרה)
למשתנה מקרי בינומי X ~ B(n, p):
- תוחלת: E(X) = n · p
- שונות: Var(X) = n · p · (1 − p)
למשל ב-100 הטלות מטבע הוגן, מספר העצים הצפוי הוא 50 והשונות 25.
שאלות נפוצות
איך מחשבים "לפחות k" או "לכל היותר k"?
מסכמים את הסתברויות הברנולי עבור כל הערכים הרלוונטיים. למשל P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + ... + P(X=n). לרוב נוח יותר להשתמש במשלים: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
מה זה C(n,k)?
"קומבינציה" – מספר הדרכים לבחור k פריטים מתוך n מבלי להתחשב בסדר. הנוסחה: C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!). למשל C(5,2) = 10.
מה ההבדל בין שליפה עם החזרה לבלי החזרה?
עם החזרה – הסתברות זהה בכל פעם → ברנולי. בלי החזרה – ההסתברות משתנה → מודל היפרגיאומטרי (לא ברנולי).
מתקשים בהסתברות?
מורים פרטיים יעברו איתכם על כל סוגי השאלות – ברנולי, היפרגיאומטרי, עץ הסתברות ועוד.
מצאו מורה פרטי