מנסרה ישרה
פאות הצד ניצבות לבסיסים. הגובה h שווה לאורך מקצוע הצד, ופאות הצד הן מלבנים.
נוסחת נפח מנסרה
V = Sbase · h
Sbase – שטח הבסיס · h – גובה המנסרה
מהי מנסרה?
מנסרה היא גוף תלת-ממדי הבנוי משני בסיסים זהים ומקבילים (מצולעים – משולש, ריבוע, מחומש וכו') ומפאות צד המחברות ביניהם. הקטעים המחברים בין קודקודים מתאימים של שני הבסיסים נקראים מקצועות הצד.
הבסיס יכול להיות כל מצולע, וגם השם של המנסרה נגזר ממנו: מנסרה משולשת (בסיס משולש), מנסרה מרובעת (בסיס מרובע – למעשה תיבה אם הבסיס מלבן), מנסרה מחומשת וכן הלאה.
סוגי מנסרות
מנסרה משופעת
פאות הצד מוטות. הגובה h הוא המרחק הניצב בין שני הבסיסים – לא אורך הפאה.
מנסרה ישרה משוכללת
מנסרה ישרה שבה הבסיס הוא מצולע משוכלל (כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות).
תיבה וקוביה
תיבה היא מנסרה ישרה שבסיסה מלבן. קוביה היא תיבה שכל צלעותיה שוות.
נוסחת שטח פנים
שטח פנים של מנסרה ישרה
A = 2 · Sbase + Pbase · h
Sbase – שטח הבסיס · Pbase – היקף הבסיס · h – גובה
חלק זה Pbase · h נקרא שטח המעטפת – סכום שטחי כל פאות הצד. נוסחה זו תקפה למנסרה ישרה. במנסרה משופעת יש לחשב כל פאה בנפרד.
איך מחשבים?
- מזהים את צורת הבסיס ומחשבים את שטחו לפי הנוסחה המתאימה (משולש, מלבן וכו').
- מזהים את הגובה h של המנסרה – המרחק בין שני הבסיסים.
- לנפח: מכפילים שטח בסיס בגובה.
- לשטח פנים: מוסיפים לשני שטחי הבסיס את היקף הבסיס כפול הגובה.
- תמיד שמים לב ליחידות: אם הצלעות בס"מ, הנפח בס"מ³ והשטח בס"מ².
דוגמאות פתורות
מנסרה משולשת
הבסיס משולש ישר זווית עם ניצבים 3 ו-4 ס"מ. הגובה של המנסרה 10 ס"מ. חשבו נפח ושטח פנים.
- שטח בסיס: S = ½·3·4 = 6 ס"מ²
- נפח: V = 6·10 = 60 ס"מ³
- היתר במשולש: √(3²+4²) = 5
- היקף בסיס: P = 3+4+5 = 12
- שטח פנים: A = 2·6 + 12·10 = 132 ס"מ²
מנסרה מרובעת (תיבה)
הבסיס ריבוע שצלעו 5 ס"מ והגובה 8 ס"מ.
- שטח בסיס: 5·5 = 25 ס"מ²
- נפח: V = 25·8 = 200 ס"מ³
- היקף: 4·5 = 20
- שטח פנים: A = 2·25 + 20·8 = 210 ס"מ²
מנסרה מחומשת משוכללת
הבסיס מחומש משוכלל ששטחו 43 ס"מ² והיקפו 25 ס"מ. הגובה 12 ס"מ.
- נפח: V = 43·12 = 516 ס"מ³
- שטח פנים: A = 2·43 + 25·12 = 86 + 300 = 386 ס"מ²
מציאת גובה
מנסרה משולשת שנפחה 90 ס"מ³ ושטח הבסיס שלה 15 ס"מ². מהו הגובה?
- מהנוסחה V = S·h ⇒ h = V / S
- h = 90 / 15 = 6 ס"מ
טעויות נפוצות
- בלבול בין גובה לאורך פאת צד: במנסרה משופעת אלו שני דברים שונים.
- שכחה להכפיל את שטח הבסיס פעמיים: בשטח פנים יש שני בסיסים (עליון ותחתון) – לא אחד.
- שימוש בצלע במקום בהיקף: שטח המעטפת מבוסס על היקף הבסיס – לא על אורך צלע אחת.
שאלות נפוצות
האם כל גוף עם שני בסיסים מקבילים הוא מנסרה?
לא בהכרח. במנסרה הבסיסים חייבים להיות מצולעים (לא עיגולים) וחייבים להיות זהים בצורה ובגודל. אם הבסיסים עיגולים – זה גליל, לא מנסרה. אם הבסיסים שונים בגודל – זה גזע פירמידה.
איך מחשבים נפח של מנסרה משופעת?
אותה נוסחה: V = S_בסיס · h. צריך רק לזכור ש-h הוא הגובה הניצב בין הבסיסים, ולא אורך הפאה המוטה.
מהו ההבדל בין מנסרה לפירמידה?
למנסרה יש שני בסיסים מקבילים זהים ופאות צד שהן מקביליות. לפירמידה יש בסיס אחד וקודקוד יחיד שאליו מתכנסות כל פאות הצד, שהן משולשים. גם נוסחת הנפח שונה: בפירמידה V = (1/3)·S·h.
למה נוסחת הנפח זהה בכל המנסרות?
זה משפט קוואלייה: שני גופים שיש להם אותו שטח חתך אופקי בכל גובה – בעלי נפח שווה. בכל מנסרה החתך האופקי בכל גובה זהה לבסיס, ולכן הנפח תמיד שטח הבסיס כפול הגובה.
מתקשים בגיאומטריה במרחב?
מורים פרטיים מקצועיים יעזרו לכם להבין את הנושא ולהצליח בבגרות.
מצאו מורה פרטי