מציאת אורך קטע
במשולש ABC: AB = 8, AC = 6, BC = 14. AD חוצה זווית A. מצא את BD ו-DC.
- BD/DC = 8/6 = 4/3
- BD = 4k, DC = 3k
- 4k + 3k = 14 → k = 2
- BD = 8, DC = 6
המשפט
BD / DC = AB / AC
AD חוצה זווית A במשולש ABC, D על הצלע BC
ניסוח המשפט
נתון משולש ABC. AD הוא חוצה הזווית של זווית A (D נמצאת על הצלע BC). אז מתקיים:
BD / DC = AB / AC
במילים: חוצה הזווית מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים שיחסם שווה ליחס שתי הצלעות הסמוכות לזווית הנחצית.
הוכחה (בקצרה)
מותחים דרך C ישר המקביל ל-AB עד שיפגוש את הארכת AD בנקודה E. אז:
- זווית BAD = זווית DAC (כי AD חוצה זווית)
- זווית DAC = זווית ACE (זוויות מתחלפות בין מקבילים AB ∥ CE)
- לכן זווית CAE = זווית ACE → משולש ACE שווה-שוקיים → AC = CE
- במשולשים ABD ו-CED: זוויות שוות (זוויות קודקודיות + מתחלפות) → דמיון
- מהדמיון: BD/DC = AB/CE = AB/AC ∎
דוגמאות פתורות
מציאת צלע
במשולש ABC: AB = 10, BD = 6, DC = 4 (AD חוצה זווית A). מצא AC.
- 6/4 = 10/AC
- 6·AC = 40
- AC = 40/6 ≈ 6.67
גרסת חוצה הזווית החיצונית
אם AD' חוצה את הזווית החיצונית ב-A, ו-D' נמצאת על הארכת BC, אז:
BD' / D'C = AB / AC
הפעם היחס הוא "חיצוני" – אחד הקטעים נמדד בכיוון הפוך.
שאלות נפוצות
מה הקשר בין המשפט לדמיון משולשים?
ההוכחה הסטנדרטית מבוססת על דמיון משולשים. למעשה כל "יחסים בין צלעות" בגיאומטריה כמעט תמיד מקורם בדמיון.
האם בכל משולש יש חוצה זווית מכל קודקוד?
כן, בכל משולש שלושה חוצי-זוויות פנימיים, וכולם נחתכים בנקודה אחת – מרכז המעגל החסום.
אם המשולש שווה-שוקיים, מה קורה?
אם AB = AC, אז AD חוצה את BC לחצאים שווים (BD = DC), כי היחס AB/AC = 1.
צריכים עזרה בגיאומטריה?
מורים פרטיים יעברו איתכם על כל המשפטים – חוצי זווית, דמיון, חפיפה ועוד.
מצאו מורה פרטי